Números complexos: o que são e qual sua utilidade?

Se você acha fascinante como coisas invisíveis governam o mundo ao nosso redor — do funcionamento da eletricidade às ondas sonoras — talvez fique surpreso ao saber que muito disso só é possível graças a uma categoria especial de números: os números complexos. Não é exagero dizer que sem eles nossa compreensão da ciência e da tecnologia seria bem mais limitada, e vários avanços que hoje consideramos corriqueiros poderiam nem existir.

Mas calma! Antes que você fique intimidado pela “complexidade” no nome, aqui vai um segredo: números complexos nada mais são do que uma extensão inteligente das ideias que já usamos com números comuns. A diferença é que, em vez de viverem apenas na linha reta dos números conhecidos (como o 0, o 1 ou mesmo o −5), eles exploram um novo espaço, quase como se criassem uma “segunda dimensão” nos cálculos matemáticos. Parece esquisito? Pode parecer no começo. Mas continue comigo e prometo que tudo fará sentido.

Para entender por que os números complexos são tão importantes, imagine a matemática básica como um mapa. Ao longo da história, fomos desenhando um território progressivamente maior: começamos contando objetos (números naturais), depois aprendemos a lidar com os negativos (inteiros) e então com frações (racionais). Quando chegamos aos números irracionais — como a raiz quadrada de 2 — parecia que tínhamos alcançado todos os cantos desse mapa numérico. Mas então surgiu algo inesperado: certas raízes quadradas simplesmente não faziam sentido no mundo dos números reais. Como calcular algo como a raiz quadrada de −1?

Na prática, parecia impossível — e foi assim que nasceu a ideia dos números complexos. Eles não foram criados porque alguém achou divertido inventar um número “que não existe”. Eles surgiram porque certas perguntas precisavam de respostas categóricas, mesmo que essas respostas exigissem pensar fora da caixinha.

O nascimento dos números complexos

Na história da matemática, os desafios sempre levaram a grandes saltos criativos. No caso dos números complexos, tudo começou durante o Renascimento europeu, quando matemáticos começaram a explorar equações polinomiais cada vez mais complicadas. Alguns problemas pareciam intransponíveis: “Como resolver x² + 1 = 0?” A solução seria x = ±√−1, mas aí está o problema. Como você interpreta raiz quadrada de número negativo? Simplesmente não havia resposta no mundo dos números reais…

Durante muito tempo, essa ideia foi vista como uma curiosidade matemática sem aplicação prática; era algo quase filosófico. Muitos estudiosos até chamavam esses números de “imaginários”, meio zombando da ideia — pois afinal eles sequer podiam ser representados na linha numérica tradicional! Mas deu-se um passo ousado: e se aceitássemos essas soluções “impossíveis”?

Foi assim que surgiu o famoso i, definido como sendo a raiz quadrada de -1. Apesar de inicialmente estranho e misterioso, esse conceito abriu portas para enxergar a matemática sob outra perspectiva — como se tivéssemos descoberto uma nova ferramenta nas mãos.

Quem é o “i”?

Para entender os números complexos, precisamos entender primeiro esse personagem protagonista chamado i. Ele é muito simples na essência: i representa a raiz quadrada de −1, algo impossível nos números reais.

Aqui está o truque prático: quando combinamos i com números comuns (chamados “reais”), criamos toda uma nova categoria chamada “números complexos”. Um exemplo desses novos números seria 3 + 2i ou −1 − 4i. Eles têm duas partes:

Parte real: O número comum como conhecemos (por exemplo, 3 em 3 + 2i).
Parte imaginária: Um múltiplo de i (nesse caso, 2i).

Essas duas partes formam algo semelhante a coordenadas: pense numa mistura entre latitude e longitude dentro da matemática.

Mas calma aí… e por que isso importa? Bem, segure essa pergunta por enquanto. Vamos terminar de construir as bases antes de explicar por que isso revolucionou áreas inteiras da ciência.

Visualizando os números complexos

Se na última seção você terminou pensando “ok, números complexos têm duas partes… mas onde eles vivem?”, saiba que você não está sozinho nessa dúvida. Afinal, até números enormes como um trilhão cabem na mesma linha dos números reais; então, onde colocamos algo como 2 + 3i? Aqui vem o truque genial: os números complexos não vivem mais naquela velha reta numérica. Eles promovem a matemática para uma nova dimensão!

Imagine por um momento a linha numérica comum — aquela onde você marca 0 no meio, à esquerda estão os negativos como −5 e à direita os positivos como 7. Agora, em vez disso, pense em um plano como o de um mapa geográfico. A linha horizontal continua representando os números reais (o eixo x), mas agora há uma linha vertical (o eixo y) onde colocamos as partes imaginárias. Assim:

O número 2 + 3i fica no ponto onde “andamos” dois passos para a direita (parte real) e três passos para cima (parte imaginária).
Algo como −1 − 4i seria dois passos em território negativo no eixo x, enquanto descemos quatro unidades no eixo y.

Visualizar os números complexos assim ajuda a perceber que eles se comportam… como coordenadas! De repente, aquele 3 + 2i parece muito mais acessível, certo? No fundo, é quase natural. É como se estivéssemos adicionando latitude e longitude à nossa velha reta numérica.

Essa representação não é só bonitinha — ela é incrivelmente prática. Quando lidamos com cálculos envolvendo números complexos em campos como engenharia ou física, adotar esse método torna mais claro identificar padrões e as relações entre os diferentes valores.

Onde os números complexos aparecem?

Talvez você esteja se perguntando: “Certo, essa ideia parece visualmente interessante, mas onde exatamente esses números aparecem no cotidiano?” Bem… ele pode estar bem em cima da sua cabeça — literalmente! Em algumas lâmpadas modernas ou nos fones de ouvido bluetooth.

Os números complexos são essenciais quando trabalhamos com ondas. Luz é onda; som é onda; sinais elétricos são ondas. Tudo isso oscila entre picos e vales que representam frequências diferentes. Assim, quem trabalha com eletricidade ou acústica precisa controlar essas oscilações — entender amplitude, fase e frequência — de maneira bem detalhada.

Agora vem o pulo do gato: os engenheiros descobriram que representar sinais como números complexos torna os cálculos absurdamente mais rápidos. Por exemplo:

Na engenharia elétrica: Números complexos ajudam a calcular o fluxo de corrente alternada (o tipo usado na sua tomada). Por causa das oscilações cíclicas da corrente, é possível representá-la de maneira elegante como rotações em um plano matemático, empregando coordenadas x + yi para capturar as mudanças ao longo do tempo.
Na música: Alguma vez você já notou como músicas ajustam automaticamente tons graves e agudos? Isso é trabalho das transformadas de Fourier, baseadas em números complexos para dividir ondas sonoras em suas frequências básicas.

Essa matemática permeia tanto a nossa vida cotidiana que é até difícil escapar dela.

Por que estudar números complexos?

No fim das contas, talvez você ainda tenha uma dúvida oculta: “ok, eu entendi que eles ajudam cientistas e engenheiros… mas e quanto a mim?” Essa pergunta é ótima! Nesses tempos modernos, conhecemos tanta coisa prática sobre matemática que esquecemos seu lado mais profundo: a matemática não é só “útil”.

Ela nos ensina a explorar a criatividade, percebendo o que vai além do que conseguimos ver com clareza. Os números complexos começaram como uma ideia estranha — uma solução inventada para problemas sem saída — e hoje sustentam boa parte do conhecimento humano em ciência e tecnologia. Mais do que resolver equações difíceis, estudar algo assim ensina a desafiar limites do pensamento convencional. Um exercício mental que desafia a imaginação a explorar outras dimensões!

Seja como for, aprender é sempre fascinante.

Veja também: